prof. diego fantinelli
ITIS “E. Fermi” - Bassano del Grappa
data: 30 ottobre 2021
Fattorizzazione polinomiale
mcm tra polinomi
Si tratta di una divisione tra polinomi, espressa sottoforma di frazione.
esempio: $(x+1) : (x^2-1)$
$$\dfrac{\text{numeratore}}{\text{denominatore}} \rightarrow \dfrac{N(x)}{D(x)} \rightarrow \dfrac{x+1}{x^2 -1}$$
Esiste un condizione indispensabile per poter lavorare con le frazioni algebriche:
Il denominatore non può mai essere nullo
Ridurla in forma normale, nel caso si trattasse di un'espressione con frazioni algebriche
Determinare le Condizioni di Esistenza, C.E.
fattorizzare il numeratore, se possibile
semplificare, se possibile
Per ridurre più frazioni allo stesso denominatore, bisogna trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore (M.C.D. minimo comune denominatore).
E' analogo a quello usato per ridurre più frazioni numeriche allo stesso denominatore:
fattorizziamo e semplifichiamo:
determiniamo le condizioni di esistenza, C.E.
Condizioni di esistenza:
Insieme di Definizione:
$$\dfrac{3x+15}{x^2 - 25}$$
$$\dfrac{2 x^{4}-18}{(x-1)(2 x-3)-(x-2)(x-3)}$$
$$\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{8}{x^{2}-4}+\dfrac{2}{x-2}$$
$$-\dfrac{10}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{2}{3 x^{2}-x}$$
Per evitare di commettere gravi errori devi ricordare che, in una frazione algebrica, puoi semplificare solo i fattori comuni al numeratore e al denominatore
$$\dfrac{3+5}{3} \neq \dfrac{5}{3} \qquad \dfrac{2x^2 -3y}{4x^4} \neq \dfrac{1 -3y}{2x^2}$$
$$P(x) = 0$$
Principi di equivalenza
primo principio: afferma che sommando algebricamente ad entrambi i membri di una equazione, uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita, otteniamo una equazione equivalente a quella data.
secondo principio: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa espressione che non possa annullarsi, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
$$
P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot P_3(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases}
P_1(x) = 0 \\
P_2(x) = 0 \\
P_3(x) = 0
\end{cases}
$$
$$\underbrace{25x^2 - 20x + 4}_{quadrato \, di \, binomio} = 0$$
$$\Rightarrow (5x - 2)^2= 0$$
$$\Rightarrow 5x - 2 = 0$$
$$\Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$$
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equazioni lineari frazionarie