Sostituendo un numero al posto dell’incognita in un’equazione, essa si trasformain un’uguaglianza tra due espressioni, uguaglianza che, se ha significato, può risultare vera o falsa
definizione: soluzioni di un’equazione
I numeri che, sostituiti al posto dell’incognita, trasformano un’equazione in un’uguaglianza vera si dicono soluzioni, o radici, dell’equazione data
Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni.
L’insieme che ha per elementi tutte le soluzioni di un’equazione è l’insieme delle soluzioni e lo indicheremo sempre con $$S= ( \text{S} \subseteq \mathbb{R})$$.
In altre parole, risolvere un’equazione significa determinarne l’insieme delle soluzioni.
definizione: DOMINIO DI UN’EQUAZIONE
Si dice dominio di un’equazione l’insieme dei numeri reali che, sostituiti all’incognita, trasformano l’equazione in un’uguaglianza dotata di significato e che quindi è o vera o falsa.
Indicheremo sempre con $D$ il dominio;
poichè le soluzioni di un’equazione devono necessariamente appartenere al dominio dell’equazione stessa, risulta:
$$S \subseteq D \subseteq \mathbb{R}$$
ESEMPIO:
nella seguente equazione frazionaria:
$$\dfrac{x -1}{x -2} + x = \dfrac{1}{2}$$
non è possibile assegnare a $x$ il valore $2$ perché si annullerebbe il denominatore della frazione al primo membro.
Per ogni altro valore di $x$ l’equazione si trasformerà in un’uguaglianza vera o falsa.
Quindi il dominio dell’equazione è: $$D = \mathbb{R}-\{2\}$$
Nella risoluzione di un’equazione si possono presentare i seguenti casi.
L’insieme delle soluzioni contiene un numero finito di elementi, cioè l’equazione ha un numero finito di soluzioni: diremo allora che l’equazione è determinata.
L’equazione $x^2=4$ è determinata, perché i numeri il cui quadrato è $4$ sono $2$ e $-2$ e quindi le soluzioni sono $2$ e $-2$:
$$S= \{ -2; \, 2\}$$
L’insieme delle soluzioni è vuoto $S= \{\emptyset \}$, cioè l’equazione non ha soluzioni: diremo allora che l’equazione è impossibile.
L’equazione $x=x+5$ è impossibile $\Rightarrow S = \emptyset$
L’insieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi, cioè l’equazione ha infinite soluzioni: diremo allora che l’equazione è indeterminata.
L’equazione: $$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ è verificata $\forall x \in \mathbb{R}$ e quindi è indeterminata: $S = \mathbb{R}$.
L’equazione è una identità perché è sempre verificata nel suo dominio $D$
5. Equazioni equivalenti
definizione: EQUAZIONI EQUIVALENTI
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
6. Principi di equivalenza delle equazioni
$\star$ primo principio di equivalenza:
afferma che sommando algebricamente ad entrambi i membri di una equazione, uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita, otteniamo una equazione equivalente a quella data.
$\star \star$ secondo principio di equivalenza:
moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numerodiverso da zero*, o per una **stessa espressione algebrica**, sempre definita e sempre diversa da zero nel dominio D dell’equazione, si ottiene un’equazione **equivalente** a quella data.*
ESEMPIO:
Un mattone pesa $1$ kg più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?
Il calcolo letterale e le equazioni ci permettono di sviluppare dei procedimenti in modo simbolico e di pervenire rapidamente alla soluzione.
Nel nostro caso, indicando con $x$ il peso di un mattone (espresso in kg), la situazione può essere espressa in forma simbolica dall’equazione:
$$x = 1 + \dfrac{1}{2} x$$
utilizzando in modo opportuno i due principi di equivalenza possiamo semplificare l’equazione:
$$x \textcolor{red}{- \dfrac{1}{2}x} = 1 + \cancel{\dfrac{1}{2} x} \textcolor{red}{- \cancel{\dfrac{1}{2}x}} \rightarrow x-\dfrac{1}{2} x=1 \quad \longrightarrow \quad \dfrac{1}{2} x=1$$
$$\textcolor{red}{2 \; \cdot} \dfrac{1}{2} x = \textcolor{red}{2 \; \cdot} 1$$
semplificando otteniamo la soluzione:
$$\textcolor{darkorange}{x=2}$$
7. Conseguenze dei principi di equivalenza
Regola del trasporto: Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi, si può trasportare un termine da un membro all’altro, cambiandogli il segno;
Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi e uno stesso termine compare in entrambi i membri, si può eliminare tale termine da entrambi i membri dell’equazione;
Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi e i coefficienti dei loro termini sono tutti multipli di uno stesso numero, si possono dividere tutti i coefficienti per tale numero;
Se in un’equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile ridurre entrambi i membri allo stesso denominatore e poi eliminare il denominatore comune;
Si può cambiare il segno di entrambi i membri di un’equazione.
Infatti ciò equivale amoltiplicare per1 entrambi i membri dell’equazione.
In particolare, se entrambi i membri sono polinomi, si può cambiare il segno di tutti i termini di entrambi i membri.
8. Grado di un’equazione intera
Consideriamo un’equazione nell’incognita $x$ i cui membri siano espressioni intere, cioè polinomi.
E`sempre possibile, applicando le regole che sono conseguenze dei principi di equivalenza, scriverla nella forma:
$$P(x) = 0$$
dove il primo membro, che abbiamo indicato con $P(x) = 0$, è un polinomio nella variabile $x$ e il secondo membro è zero.
Tale forma è anche detta forma canonica o forma normale dell’equazione.
definizione: Grado di un’equazione intera
Data un’equazione nell’incognita $x$, scritta nella forma canonica $P(x) = 0$, si dice grado dell’equazione il grado del polinomio $P(x)$ rispetto alla lettera $x$.
Le equazioni di primo grado sono anche dette equazioni lineari.
La forma canonica di un’equazione lineare nell’incognita $x$ è: $$mx + q = 0$$
dove $m$ e $q$ sono numeri reali, con $m \neq 0$
Equazioni Numeriche
9. Procedimento risolutivo delle equazioni intere
Elenchiamo le operazioni da compiere per risolvere un’equazione numerica intera di primo grado (come al solito, indichiamo con $x$ l’incognita).
Si eseguono le eventuali operazioni indicate e, se presenti, si eliminano i denominatori.
Si trasportano tutti i monomi contenenti l’incognita al primo membro e tutti itermini noti al secondo membro, riducendo gli eventuali termini simili.
Dopo aver eseguito tali operazioni l’equazione risulterà scritta nella forma
10. Procedimento risolutivo delle equazioni frazionarie
Condizioni di accettabilità
Poiché le soluzioni di un’equazione devono appartenere al suo dominio, in alternativa al dominio si possono indicare le condizioni a cui devono soddisfare le eventuali soluzioni.
Tali condizioni sono dettecondizioni di accettabilità. Useremo la notazione C.A. per indicare le Condizioni di Accettabilità delle soluzioni di un’equazione.
Nel caso di equazioni frazionarie, le condizioni di accettabilità mettono in evidenza che la soluzione non può coincidere con i valori che annullano qualche denominatore al primo o al secondo membro.
Le fasi del procedimento risolutivo
Enunciamo ora il procedimento per risolvere un’equazione numerica frazionaria.
Se è possibile, si scompongono in fattori i denominatori che figurano nell’equazione.
Si formulano le condizioni di accettabilità (oppure si esplicita il dominio dell’equazione).
Si riducono entrambi i membri dell’equazione allo stesso denominatore.
Si eliminano i denominatori, moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune.
Si risolve l’equazione intera così ottenuta.
Delle soluzioni ottenute si accettano solo quelle che soddisfano le condizionidi accettabilità (cioè solo quelle che appartengono al dominio).
I passaggi indicati nei punti 5. e 6. sono giustificati dal secondo principio di equivalenza.
In generale, le equazioni consentono di risolvere diverse specie di problemi.
Le situazioni che si possono presentare sono dei tipi più svariati, perciò non è possibile formulare un metodo generale per la risoluzione di qualsiasi problema.
Ci limitiamo quindi a fornire alcune indicazioni generali, che illustreremo con alcuni esempi.
Per risolvere un problema occorre tradurlo in un’equazione che ne rappresenti il modello matematico.
A tal fine, dopo aver analizzato attentamente il problema individuando i dati noti, conviene procedere nel modo seguente.
Si individua l’incognita, ossia una grandezza il cui valore numerico non è immediatamente deducibile, e si associa a essa una lettera (di solito la $x$) che sarà l’incognita dell’equazione.
Si pongono le eventuali condizioni di accettabilità (C.A.) della soluzione, ossia si stabiliscono quelle limitazioni al valore dell’incognita che garantiscono la possibilità di dare un significato alle soluzioni che si troveranno.
Si scrive l’equazione; a questo scopo si cerca di esprimere le relazioni tra lagrandezza rappresentata dall’incognita e le grandezze note mediante un’uguaglianza, che diventerà l’equazione da risolvere. In questa fase a volte è utile ragionare «come se» l’incognita fosse nota.
Si risolve l’equazione così trovata.
Si confronta la soluzione trovata con le condizioni di accettabilità poste, inmodo da escludere i valori che potrebbero non avere significato per il problema.
Si formula la soluzione del problema, tenendo presente che non sempre la risoluzione di un problema termina con la risoluzione di un’equazione.
L’equazione è il modello matematico del problema: la sua soluzione deve quindi essere interpretata in tale modello.
Esempio 3:
Anna vuole acquistare un’auto che costa $13.900$€.
Se riuscisse a raddoppiare i risparmi che ha adesso, per comprare l’auto dovrebbe comunque trovare altri $3.400$€.
Quanti risparmi ha ora Anna?
soluzione:
Chiamiamo $x$ l’importo dei risparmi che attualmente possiede Anna;
Traduco in matematichese il testo:
$$2 \cdot x + 3.400 = 13.900 $$
traduzione: il doppio dei risparmi attuali più $3.400$€ sono pari al totale di $13.900$€ che deve spendere per comprare l’auto;
isoliamo l’incognita:
$$
\begin{align}
2 \cdot x &= 13.900 - 3.400 \\
x &= \dfrac{10.500}{2} \\
x &= 5.250
\end{align}$$
Esempio 3:
La somma di due numeri è $37$. Dividendo il più grande per il più piccolo si ottiene come quoziente $3$ e come resto $1$.
Quali sono i due numeri?
primo numero: $= x$
secondo numero: $= 37 - x$
soluzione:
l’equazione risultante è la seguente:
$$37-x=3x+1$$
Quando vi è solo un dato da trovare (o, come si dice, quando c’è solo una “incognita”),
allora è sufficiente avere a disposizione una sola equazione che mette in relazione fra loro i dati del problema;
un modello molto famoso…
Il modello matematico SEIR (SIR) per il monitoraggio pandemico
$N:$ total population
$S(t):$ number of people susceptible on day t
$E(t):$ number of people exposed on day $t$
$I(t):$ number of people infected on day t
$\mathrm{R}(\mathrm{t}):$ number of people recovered on day $\mathrm{t}$
$D(t):$ number of people dead on day $t$
$\beta:$ expected amount of people an infected person infects per day
$D:$ number of days an infected person has and can spread the disease
$\gamma$ : the proportion of infected recovering per day $(\gamma=1 / \mathrm{D})$
$R_o:$ the total number of people an infected person infects (Ro $=\beta / \gamma$ )
$\delta:$ length of incubation period
$a:$ fatality rate
$\rho:$ rate at which people die $(=1 /$ days from infected until death $)$
