7. Frazioni algebriche

Last updated on Nov 12, 2021

☆ scadenza: 20 ottobre 2021

prerequisiti

Fattorizzazione polinomiale
- indispensabile per poter semplificare una frazione algebrica
mcm tra polinomi
- per potersi riportare alla forma normale di una frazione algebrica: $\frac{N(x)}{D(x)}$

cos’è una frazione algebrica

Si tratta di una divisione tra polinomi, espressa sottoforma di frazione.

esempio: $(x+1) : (x^2-1)$

$$\dfrac{\text{numeratore}}{\text{denominatore}} \rightarrow \dfrac{N(x)}{D(x)} \rightarrow \dfrac{x+1}{x^2 -1}$$

Il dividendo prende il nome di numeratore
Il divisore prende il nome di denominatore

Condizioni di Esistenza

Esiste un condizione indispensabile per poter lavorare con le frazioni algebriche:
Il denominatore non può mai essere nullo

$$\dfrac{N(x)}{D(x)} \Rightarrow D(x) \neq 0$$

Le tre cose da fare

Ridurla in forma normale, nel caso si trattasse di un'espressione con frazioni algebriche
- fattorizzare tutti in denominatori
- denominatore comune
Determinare le Condizioni di Esistenza, C.E.
fattorizzare il numeratore, se possibile
semplificare, se possibile

Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore

Per ridurre più frazioni allo stesso denominatore, bisogna trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore (M.C.D. minimo comune denominatore).

Il procedimento

E' analogo a quello usato per ridurre più frazioni numeriche allo stesso denominatore:

si semplificano le frazioni date;
le frazioni così ottenute sono quelle a cui si applicano direttamente i passaggi successivi;
il denominatore comune cercato (minimo comune denominatore) è il mcm dei denominatori;

esempio 1

fattorizziamo e semplifichiamo:
- $\dfrac{(x+1)}{(x^2-1)} = \dfrac{(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \color{red}{\dfrac{1}{(x-1)}}$
determiniamo le condizioni di esistenza, C.E.
- poniamo il denominatore uguale a zero determinare per quali valori di $x$ il denominatore si annulla:
- $D(x)=0 \rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$

scriviamo correttamente la soluzione

Condizioni di esistenza:
- $C.E.: x \neq 1$
Insieme di Definizione:
- $IdD = \overbrace{\{ \forall x \in \mathbb{R} : x \neq 1 \}}^{insieme \, di \, definizione}$

l’IdD rappresenta un insieme in futuro l’IdD verrà chiamato anche Dominio

esempi

$$\dfrac{3x+15}{x^2 - 25}$$
$$\dfrac{2 x^{4}-18}{(x-1)(2 x-3)-(x-2)(x-3)}$$
$$\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{8}{x^{2}-4}+\dfrac{2}{x-2}$$
$$-\dfrac{10}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{2}{3 x^{2}-x}$$

errori gravi

Per evitare di commettere gravi errori devi ricordare che, in una frazione algebrica, puoi semplificare solo i fattori comuni al numeratore e al denominatore

nella frazione $\dfrac{a+b}{b}$ non è possibile operare alcuna semplificazione; infatti $b$ è un fattore per il denominatore, ma è un addendo per il numeratore!
Analogamente, nella frazione $\dfrac{a+x}{a+y}$ non è possibile semplificare per $a$: infatti il monomio $a$ è un addendo per entrambi i termini della frazione, non un fattore

$$\dfrac{3+5}{3} \neq \dfrac{\cancel{3} + 5}{\cancel{3}} \qquad \dfrac{2x^2 -3y}{4x^4} \neq \dfrac{\cancel{2x^2} - 3y}{\cancel{4x^4}}$$

Due regole d’oro

1. fattorizzare i denominatori

$\Rightarrow$ serve a calcolare il minimo comun denominatore

2. sviluppare i numeratori

$\Rightarrow$ serve a semplificare i monomi simili

Uno sguardo alle equazioni lineari intere

Sono del tipo:

$$P(x) = 0$$

con $P(x)$ un Polinomio in $x$ di grado $n$

$$x^2 + 5x + 6 = 0$$

Vi sblocco un ricordo…

Principi di equivalenza

primo principio: afferma che sommando algebricamente ad entrambi i membri di una equazione, uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita, otteniamo una equazione equivalente a quella data.
secondo principio: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa espressione che non possa annullarsi, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

uno strumento davvero efficace

L.A.P.: Legge di Annullamento del Prodotto

$$ P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot P_3(x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} P_1(x) = 0 \\
P_2(x) = 0 \\
P_3(x) = 0 \end{cases} $$

esempio

$$\underbrace{25x^2 - 20x + 4}_{quadrato \, di \, binomio} = 0$$

$$\Rightarrow (5x - 2)^2= 0$$

$$\Rightarrow 5x - 2 = 0$$

$$\Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$$

equazioni/disequazioni mindmap

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equazioni lineari frazionarie