2. Numeri razionali e numeri reali

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☆ scadenza: 30 novembre 2021

Capitolo 2 - Numeri razionali e numeri reali

“If I were not a physicist, I would probably be a musician. I often think in music. I live my daydreams in music. I see my life in terms of music.” ― Albert Einstein*

― Albert Einstein

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Frazioni

• Una frazione rappresenta il risultato di una divisione tra numeri interi.

esempio:

Supponiamo di dover dividere $2$ torte tra $6$ bambini.

• Sappiamo che negli insiemi $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ la divisione $2:6$ non si può eseguire, però possiamo tagliare ciascuna delle $2$ torte in $6$ fette uguali.

• Risulteranno $12$ fette che si potranno dividere tra i $6$ bambini, ciascuno dei quali avrà $2$ fette.

• I numeri naturali e gli interi relativi non permettono di esprimere questa semplice soluzione del nostro problema.

• In situazioni come questa si deve ricorrere alle frazioni o, per essere più precisi, ai numeri razionali.

• In questo modo potremodire che a ogni bambino spetteranno ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ di torta, cioè ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ di torta.

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1. Il concetto di frazione

I numeri $a$ e $b$ si chiamano termini della frazione; precisamente:

• il numero $a$, che si trova al di sopra della linea di frazione, si chiama numeratore;
• il numero $b$, al di sotto della linea di frazione, si chiama denominatore

frazioni proprie e improprie

• Se il numeratore di una frazione è minore del denominatore si dice che la frazione è propria;
• se invece il numeratore è maggiore o uguale al denominatore si parla di frazione impropria.

frazioni apparenti

• Se il numeratore è multiplo del denominatore, la frazione rappresenta il risultato di una divisione che si può eseguire nell’insieme dei numeri interi, $\mathbb{Z}$

• Tali frazioni si dicono perciò apparenti. particolare, se il denominatore è uguale a $1$, si usa scrivere il solo numeratore.

$\star$ Le frazioni apparenti sono casi particolari di frazioni improprie.

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2. Frazioni equivalenti

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SEGNO DI UNA FRAZIONE

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3. Proprietà invariantiva

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4. Riduzione ai minimi termini e semplificazione

• Di solito quando si semplifica una frazione si conviene di dividere i suoi termini per il loro MCD, in modo che la frazione equivalente che si ottiene sia ridotta ai minimi termini:

$${\displaystyle \frac{12}{30}}={\displaystyle \frac{12:6}{30:6}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$$

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5. Riduzione al minimo comune denominatore

esempio:

• Ridurre al minimo comune denominatore le seguenti frazioni:

$${\displaystyle \frac{7}{15}},{\displaystyle \frac{6}{20}},{\displaystyle \frac{12}{18}}$$

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L’insieme dei numeri razionali

6. L’insieme dei numeri razionali

Data una frazione, esistono infinite altre frazioni equivalenti

Ad esempio: $${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{10}{15}}=\dots$$

Segno di un numero razionale

Due frazioni equivalenti hanno lo stesso segno.

• Quindi le frazioni, tutte equivalenti tra loro, il cui insieme costituisce un numero razionale, sono o tutte positive o tutte negative o tutte nulle.
  • Nel primo caso diremo che il numero razionale è positivo,
  • nel secondo caso diremo che è negativo;
  • nel terzo caso diremo che l’insieme delle frazioni nulle è il numero razionale $0$.

Si possono estendere ai numeri razionali alcune definizioni già introdotte sui numeri interi.

• Ad esempio, due numeri razionali si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segni diversi.

Opposto e valore assoluto di un numero razionale

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7. Rappresentazione dei numeri razionali su una retta orientata

8. Confronto tra numeri razionali

• Per confrontare due numeri razionali, occorre innanzitutto esprimerli come frazioni con lo stesso denominatore positivo;
• si confrontano quindi i loro numeratori, considerando negativi i numeratori delle frazioni negative

esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali: $${\displaystyle \frac{25}{12}},{\displaystyle \frac{20}{9}}$$

• calcoliamo il minimo comune denominatore:
• $m.c.m.(12;9)=36$

esprimiamo quindi i due numeri razionali come frazioni con lo stesso denominatore $36$ $${\displaystyle \frac{25}{12}}={\displaystyle \frac{25\cdot 3}{12\cdot 3}}={\displaystyle \frac{75}{36}}$$ $${\displaystyle \frac{20}{9}}={\displaystyle \frac{20\cdot 4}{9\cdot 4}}={\displaystyle \frac{80}{36}}$$

• Confrontiamo ora i rispettivi numeratori: $$75<80\Rightarrow {\displaystyle \frac{25}{12}}<{\displaystyle \frac{20}{9}}$$

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esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali:

$$-{\displaystyle \frac{9}{20}},-{\displaystyle \frac{7}{15}};{\displaystyle \frac{14}{9}},-{\displaystyle \frac{9}{14}}$$

9. Proprietà dell’insieme dei numeri razionali

• L’insieme dei numeri razionali gode delle seguenti proprietà:

  • L’insieme dei numeri razionali è infinito.
  • L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento minimo.
  • L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento massimo.
  • L’insieme $\mathbb{Q}$ è denso: tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali.

$\star$ analogico Vs digitale

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operazioni con i numeri razionali

Le operazioni, nell’insieme $\mathbb{Q}$, godono delle stesse proprietà valide in $\mathbb{N}$ e in $\mathbb{Z}$:

• ad esempio, la proprietà commutativa dell’addizione e della moltiplicazione, la proprietà invariantiva della sottrazione e della divisione, e così via

10. addizione

11. sottrazione

12. addizione algebrica

• Come abbiamo visto, una sottrazione tra numeri razionali si può ricondurre a un’addizione.
• Possiamo perciò estendere ai numeri razionali il concetto di addizione algebrica, introdotto per i numeri interi relativi

13. moltiplicazione

• Il segno del prodotto è determinato dalla consueta regola dei segni, che si può estendere al caso di tre o più fattori

• Nella pratica è possibile, in molti casi, eseguire le semplificazioni in croce prima di calcolare il prodotto dei numeratori e quello dei denominatori.
• In tal modo è possibile ottenere il risultato già ridotto ai minimi termini
• Per moltiplicare un numero intero per una frazione si moltiplica il solo numeratore per quel numero intero:

$$n\cdot {\displaystyle \frac{p}{q}}={\displaystyle \frac{n\cdot p}{q}}$$

14. divisione

• Anche in $\mathbb{Q}$ non è possibile dividere per $0$;
• nell’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali sono possibili tutte le divisioni con divisore diverso da $0$:
  • la divisione è un’operazione interna all’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali diversi da zero.
• Il quoziente di una divisione tra numeri interi può essere rappresentato da un numero razionale

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potenze in $\mathbb{Q}$

15. Potenza con esponente naturale

16. Potenza con esponente intero negativo

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Frazioni e numeri decimali

17. Numeri decimali e frazioni decimali

A tutti sono noti i numeri decimali, ossia quei numeri rappresentati mediante due successioni di cifre, separate da una virgola.

La successione di cifre a sinistra della virgola si chiama parte intera del numero, quella a destra della virgola si chiama parte frazionaria.

$$\underset{parteintera}{\underbrace{123,}}\stackrel{partefrazionaria}{\overbrace{4567}}$$

Per comprendere pienamente tale tipo di rappresentazione, detta rappresentazione decimale, è necessario introdurre il concetto di frazione decimale.

18. Dalla frazione al numero decimale

19. Dal numero decimale finito alla frazione

20. Dal numero decimale periodico alla frazione

Il periodo 9

$$0,\bar{9}=\frac{9-0}{9}=1⟶1=0,9999\dots$$

• Giungiamo così a un apparente paradosso: il numero intero $1$ è uguale a un numero decimale periodico, cioè a un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola!

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qualche esercizio

• risolvere la seguente espressione con i numeri razionali: $${\{{\displaystyle \frac{[-{\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot (-4+{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot (-7{)}^{-2}+(-2{)}^{-4}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 7^{-1}]\cdot (-6-{\displaystyle \frac{2}{3}})}{4^{-1}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}):(-5{)}^{-1}:[{(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+(-2{)}^{-3}]}}-{\displaystyle \frac{109}{7}}\}}^{19}$$

• trasformare le seguenti frazioni in numeri decimali finiti, periodici semplici o misti: $${\displaystyle \frac{11}{4}}=\dots ;{\displaystyle \frac{19}{11}}=\dots ;{\displaystyle \frac{37}{6}}=\dots ;$$

• determinare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali:

$$2,008=\dots ;0,0004=\dots ;2,\bar{3}=\dots ;2,3\bar{3}=\dots ;5,\overline{367}=\dots$$

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21. Notazione esponenziale e notazione scientifica

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

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22. Proporzioni

proprietà delle proporzioni:

I quattro numeri che formano una proporzione si dicono termini della proporzione.

• Il primo e il quarto termine si dicono estremi, il secondo e il terzo si dicono medi;
• il primo e il terzo si dicono antecedenti, il secondo e il quarto si dicono conseguenti.

23. Percentuali

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

Calcolo approssimato

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