2. Numeri razionali e numeri reali

Last updated on Jan 26, 2022
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☆ scadenza: 30 novembre 2021

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Capitolo 2 - Numeri razionali e numeri reali

“If I were not a physicist, I would probably be a musician. I often think in music. I live my daydreams in music. I see my life in terms of music.” ― Albert Einstein*

― Albert Einstein

Frazioni

  • Una frazione rappresenta il risultato di una divisione tra numeri interi.

esempio:

cake
Supponiamo di dover dividere $2$ torte tra $6$ bambini.

  • Sappiamo che negli insiemi $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ la divisione $2:6$ non si può eseguire, però possiamo tagliare ciascuna delle $2$ torte in $6$ fette uguali.

  • Risulteranno $12$ fette che si potranno dividere tra i $6$ bambini, ciascuno dei quali avrà $2$ fette.

  • I numeri naturali e gli interi relativi non permettono di esprimere questa semplice soluzione del nostro problema.

  • In situazioni come questa si deve ricorrere alle frazioni o, per essere più precisi, ai numeri razionali.

  • In questo modo potremodire che a ogni bambino spetteranno $\dfrac{2}{6}$ di torta, cioè $\dfrac{1}{3}$ di torta.

1. Il concetto di frazione

definizione: una frazione è un’espressione del tipo $\dfrac{a}{b}$

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\textit{numeratore}}{\textit{denominatore}}$$

  • $a, b$ sono i termini della frazione $\dfrac{a}{b}$
  • con $a \in \mathbb{Z}, \; b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0$
se $b=0 \Rightarrow$ il numero razionale $\dfrac{a}{b}$ non esiste in $\mathbb{Q}$

I numeri $a$ e $b$ si chiamano termini della frazione; precisamente:

  • il numero $a$, che si trova al di sopra della linea di frazione, si chiama numeratore;
  • il numero $b$, al di sotto della linea di frazione, si chiama denominatore

frazioni proprie e improprie

  • Se il numeratore di una frazione è minore del denominatore si dice che la frazione è propria;
  • se invece il numeratore è maggiore o uguale al denominatore si parla di frazione impropria.

frazioni apparenti

  • Se il numeratore è multiplo del denominatore, la frazione rappresenta il risultato di una divisione che si può eseguire nell’insieme dei numeri interi, $\mathbb{Z}$

  • Tali frazioni si dicono perciò apparenti. particolare, se il denominatore è uguale a $1$, si usa scrivere il solo numeratore.


$\star$ Le frazioni apparenti sono casi particolari di frazioni improprie.

2. Frazioni equivalenti

definizione: due frazioni $\dfrac{a}{b}$ e $\dfrac{c}{d}$ si dicono equivalenti se:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

cioè se il prodotto tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il denominatore della prima e il numeratore della seconda

  • I due prodotti che si devono confrontare per stabilire se due frazioni sono equivalenti sono detti anche prodotti in croce

  • ad esempio: le frazioni $\dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{24}{30}$ sono equivalenti, infatti:

$$a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow 4 \cdot 30 = 24 \cdot 5 = 120$$

SEGNO DI UNA FRAZIONE

3. Proprietà invariantiva

proprietà invariantiva delle frazioni

  • Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente alla frazione data:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a : c}{b : c}$$

con $a, b, c \in \mathbb{Z}, \qquad$ e con $b, c \neq 0$

4. Riduzione ai minimi termini e semplificazione

definizione: frazione ridotta ai minimi termini

  • Una frazione si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se il MCD dei valori assoluti dei suoi termini è $1$

In generale, per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono sia il numeratore sia il denominatore per il MCD dei loro valori assoluti.

  • Di solito quando si semplifica una frazione si conviene di dividere i suoi termini per il loro MCD, in modo che la frazione equivalente che si ottiene sia ridotta ai minimi termini:

$$\dfrac{12}{30} = \dfrac{12 : 6}{30 : 6} = \dfrac{2}{5}$$

5. Riduzione al minimo comune denominatore

  • Per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore, si procede così:
  1. si riducono le frazioni ai minimi termini, se possibile;
  2. si calcola il mcm dei denominatori delle frazioni ridotte: esso è il minimo comune denominatore;
  3. si moltiplica il numeratore di ciascuna frazione ridotta per il quoziente tra il minimo comune denominatore e il corrispondente denominatore; si ottiene così il numeratore di ciascuna nuova frazione.
  • Il denominatore sarà il minimo comune denominatore prima trovato.

esempio:

  • Ridurre al minimo comune denominatore le seguenti frazioni:

$$\dfrac{7}{15}, \dfrac{6}{20}, \dfrac{12}{18}$$


L’insieme dei numeri razionali

6. L’insieme dei numeri razionali


Si definisce numero razionale l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione.

Data una frazione, esistono infinite altre frazioni equivalenti

Ad esempio: $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{10}{15} = \dots$$

Segno di un numero razionale

Due frazioni equivalenti hanno lo stesso segno.

  • Quindi le frazioni, tutte equivalenti tra loro, il cui insieme costituisce un numero razionale, sono o tutte positive o tutte negative o tutte nulle.
    • Nel primo caso diremo che il numero razionale è positivo,
    • nel secondo caso diremo che è negativo;
    • nel terzo caso diremo che l’insieme delle frazioni nulle è il numero razionale $0$.

Si possono estendere ai numeri razionali alcune definizioni già introdotte sui numeri interi.

  • Ad esempio, due numeri razionali si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segni diversi.

Opposto e valore assoluto di un numero razionale


DEFINIZIONE: OPPOSTO DI UN NUMERO RAZIONALE

  • Si dice opposto di un numero razionale $a$, e si indica con $-a$, il numero razionale che si ottiene cambiando il segno di $a$

DEFINIZIONE: VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO RAZIONALE

  • Si dice valore assoluto o modulo di un numero razionale $a$, e si indica con $|a|$, il numero $a$ stesso se $a$ è positivo o nullo, il suo opposto $-a$ se $a$ è negativo.
  • In simboli:

$$ |a| = \begin{cases} a \qquad \quad \text{se} \; a \ge 0\\
-a \qquad \, \text{se} \, a < 0 \end{cases} $$

  • con $a \in \mathbb{Q}$

7. Rappresentazione dei numeri razionali su una retta orientata

8. Confronto tra numeri razionali

  • Per confrontare due numeri razionali, occorre innanzitutto esprimerli come frazioni con lo stesso denominatore positivo;
  • si confrontano quindi i loro numeratori, considerando negativi i numeratori delle frazioni negative

esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali: $$\dfrac{25}{12}, \; \dfrac{20}{9}$$

  • calcoliamo il minimo comune denominatore:
  • $m.c.m.(12; 9) = 36$

esprimiamo quindi i due numeri razionali come frazioni con lo stesso denominatore $36$ $$\dfrac{25}{12} = \dfrac{25 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{75}{36}$$ $$\dfrac{20}{9} = \dfrac{20 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \dfrac{80}{36}$$

  • Confrontiamo ora i rispettivi numeratori: $$75 < 80 \; \Rightarrow \dfrac{25}{12} < \dfrac{20}{9}$$

esempio: confrontiamo i seguenti numeri razionali:

$$-\dfrac{9}{20}, \; -\dfrac{7}{15}; \qquad \qquad \dfrac{14}{9}, \; -\dfrac{9}{14}$$

9. Proprietà dell’insieme dei numeri razionali

  • L’insieme dei numeri razionali gode delle seguenti proprietà:

    • L’insieme dei numeri razionali è infinito.
    • L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento minimo.
    • L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento massimo.
    • L’insieme $\mathbb{Q}$ è denso: tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali.
Osserviamo che, rispetto alle proprietà degli insiemi dei numeri naturali e dei numeri interi, c’è un’importante differenza: i concetti di «precedente» e di «successivo», introdotti per gli insiemi discreti $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$, non hanno senso nell’insieme denso $\mathbb{Q}$.

$\star$ analogico Vs digitale

flowchart TD
    id1(denso)
    id2([analogico])
    id3(discreto)
    id4([digitale])
  id1 --> id2
  id3 --> id4

operazioni con i numeri razionali

Le operazioni, nell’insieme $\mathbb{Q}$, godono delle stesse proprietà valide in $\mathbb{N}$ e in $\mathbb{Z}$:

  • ad esempio, la proprietà commutativa dell’addizione e della moltiplicazione, la proprietà invariantiva della sottrazione e della divisione, e così via

10. addizione

DEFINIZIONE: SOMMA DI FRAZIONI

  • La somma di due frazioni con lo stesso denominatore positivo è la frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica dei numeratori: $$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b} \qquad b\neq 0$$

Quando le frazioni addende non hanno lo stesso denominatore, si sceglie come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori, dopo averle eventualmente ridotte ai minimi termini.

11. sottrazione

DEFINIZIONE: SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI

  • La differenza di due frazioni è la somma della prima con l’opposta della seconda: $$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left( - \dfrac{c}{d} \right) \qquad b,d \neq 0$$

Quando le frazioni addende non hanno lo stesso denominatore, si sceglie come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori, dopo averle eventualmente ridotte ai minimi termini.

12. addizione algebrica

  • Come abbiamo visto, una sottrazione tra numeri razionali si può ricondurre a un’addizione.
  • Possiamo perciò estendere ai numeri razionali il concetto di addizione algebrica, introdotto per i numeri interi relativi

13. moltiplicazione

DEFINIZIONE: PRODOTTO DI FRAZIONI

  • Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori:
$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} \qquad b,d \neq 0$$

con $b, d \neq 0$, e $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$

  • Il segno del prodotto è determinato dalla consueta regola dei segni, che si può estendere al caso di tre o più fattori

REGOLA

  • Per calcolare il prodotto di due o più frazioni, si può procedere così:
  1. si riducono ai minimi termini quelle frazioni che eventualmente non lo siano;
  2. si determina il segno del prodotto con la regola dei segni: se il numero delle frazioni negative è pari il prodotto è positivo, se è dispari il prodotto è negativo;
    • la frazione prodotto ha per segno il segno così determinato, per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori;
  3. se possibile, si semplifica il risultato riducendolo ai minimi termini.
  • Nella pratica è possibile, in molti casi, eseguire le semplificazioni in croce prima di calcolare il prodotto dei numeratori e quello dei denominatori.
  • In tal modo è possibile ottenere il risultato già ridotto ai minimi termini
  • Per moltiplicare un numero intero per una frazione si moltiplica il solo numeratore per quel numero intero:

$$n \cdot \dfrac{p}{q} = \dfrac{n \cdot p}{q}$$

DEFINIZIONE: numeri razionali reciproci

  • Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori:
$$ a \cdot b =1$$

14. divisione

DEFINIZIONE: DIVISIONE DI FRAZIONI

  • Il quoziente di due numeri razionali, il secondo dei quali diverso da zero, è il prodotto del primo per il reciproco del secondo: $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \qquad b,d \neq 0$$

con $b \neq 0, \; c \neq 0, \; d \neq 0, \qquad$ e con $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$

Il segno del risultato di una divisione si determina, come al solito, con la regola dei segni

  • Anche in $\mathbb{Q}$ non è possibile dividere per $0$;
  • nell’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali sono possibili tutte le divisioni con divisore diverso da $0$:
    • la divisione è un’operazione interna all’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali diversi da zero.
  • Il quoziente di una divisione tra numeri interi può essere rappresentato da un numero razionale

potenze in $\mathbb{Q}$

REGOLA

  • La potenza di una frazione è la frazione i cui termini sono le potenze dei termini della base.
    • Se la base ha segno $+$, anche la potenza ha segno $+$.
    • Se la base ha segno $+$ e l’esponente è pari, la potenza ha segno $+$.
    • Se la base ha segno $-$ e l’esponente è dispari, la potenza ha segno $-$.

15. Potenza con esponente naturale

definizione: POTENZA DI UN NUMERO RAZIONALE CON ESPONENTE NATURALE

  • La potenza che ha per base il numero razionale $a$ e per esponente il numero naturale $n$ si indica con $a^n$ ed è uguale al prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ $$a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \; fattori}$$

16. Potenza con esponente intero negativo

definizione: POTENZA CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO

  • La potenza che ha per base il numero razionale $a \neq 0$ e per esponente il numero intero negativo $-n$ è uguale al reciproco della potenza che ha per base $a$ e per esponente il numero naturale $n$:

$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad a \neq 0$$

Frazioni e numeri decimali

17. Numeri decimali e frazioni decimali

A tutti sono noti i numeri decimali, ossia quei numeri rappresentati mediante due successioni di cifre, separate da una virgola.

La successione di cifre a sinistra della virgola si chiama parte intera del numero, quella a destra della virgola si chiama parte frazionaria.

$$\underbrace{123,}_{parte \, intera} \overbrace{4567}^{parte \, frazionaria}$$

Per comprendere pienamente tale tipo di rappresentazione, detta rappresentazione decimale, è necessario introdurre il concetto di frazione decimale.

definizione: FRAZIONE DECIMALE

  • Si dice frazione decimale ogni frazione che ha per denominatore una potenza di $10$ con esponente positivo.

18. Dalla frazione al numero decimale

DEFINIZIONE: NUMERO DECIMALE PERIODICO

Si dice che un numero decimale è periodico se le sue cifre decimali dopo la virgola si ripetono a gruppi a partire da una certa posizione.

  • Il gruppo di cifre che si ripetono si chiama periodo.
  • Se il periodo inizia subito dopo la virgola, la rappresentazione si dice periodica semplice;
  • se invece inizia in una posizione successiva, la rappresentazione si dice periodica mista e il gruppo di cifre che seguono la virgola e precedono il periodo si chiama antiperiodo.

19. Dal numero decimale finito alla frazione

REGOLA

  • Per determinare la frazione generatrice di un numero decimale finito, al numeratore si scrivono le cifre del numero, senza la virgola, e al denominatore si scrive $1$ seguito da tanti zeri quante sono le cifre che seguono la virgola.

Si può anche ricordare in un altro modo:

  • al numeratore si scrivono le cifre del numero, senza la virgola, e al denominatore si scrive la potenza di $10$ con esponente uguale al numero di cifre che compongono la parte frazionaria

20. Dal numero decimale periodico alla frazione

REGOLA: La frazione generatrice di un numero decimale periodico è la frazione che ha:

  • al numeratore la differenza tra il numero dato, scritto senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo, anch’esso scritto senzavirgola;
  • al denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le eventuali cifre dell’antiperiodo.

Il periodo 9

$$0, \overline{9}=\frac{9-0}{9}=1 \quad \longrightarrow \quad 1=0,9999 \ldots$$

  • Giungiamo così a un apparente paradosso: il numero intero $1$ è uguale a un numero decimale periodico, cioè a un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola!

REGOLA

  • Un numero periodico con periodo $9$ è uguale al numero decimale finito che si ottiene da quello dato eliminando il periodo $9$ e aumentando di una unità l’ultima cifra che precede il periodo.

qualche esercizio

  • risolvere la seguente espressione con i numeri razionali: $$\left\{\dfrac{\left[-\dfrac{5}{8} \cdot\left(-4+\dfrac{1}{2}\right) \cdot(-7)^{-2}+(-2)^{-4}+\dfrac{3}{4} \cdot 7^{-1}\right] \cdot\left(-6-\dfrac{2}{3}\right)}{4^{-1} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right):(-5)^{-1}:\left[\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+(-2)^{-3}\right]}-\dfrac{109}{7}\right\}^{19}$$

  • trasformare le seguenti frazioni in numeri decimali finiti, periodici semplici o misti: $$\dfrac{11}{4}= \dots; \quad \dfrac{19}{11}= \dots; \quad \dfrac{37}{6}= \dots;$$

  • determinare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali:

$$2,008= \dots; \quad 0,0004= \dots; \quad 2,\overline{3}= \dots; \quad 2,3\overline{3}= \dots; \quad 5,\overline{367}= \dots $$

21. Notazione esponenziale e notazione scientifica

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

22. Proporzioni

definizione: proporzione

Si definisce proporzione l'uguaglianza tra due rapporti:

$$a:b = c: d \quad \text{con} \; b \neq 0, \; d \neq 0$$

proprietà delle proporzioni:

I quattro numeri che formano una proporzione si dicono termini della proporzione.

  • Il primo e il quarto termine si dicono estremi, il secondo e il terzo si dicono medi;
  • il primo e il terzo si dicono antecedenti, il secondo e il quarto si dicono conseguenti.

23. Percentuali

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$

Calcolo approssimato

D!eg0 Fantinelli
D!eg0 Fantinelli
Teacher of Mathematics

My research interests include distributed robotics, mobile computing and programmable matter.