1. Numeri naturali e numeri interi relativi

Last updated on Nov 15, 2021

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☆ scadenza: 30 settembre 2021

L’insieme dei numeri naturali

Numeri, continuamente numeri: il numero dei giri, il numero della macchina, il distacco, il tempo trascorso, il tempo che manca, il numero sulla maglia, il punteggio…

Servono veramente tutti questi numeri?

Sono essenziali o se ne potrebbe fare a meno?

1. numeri naturali e loro ordinamento

come si rappresentano gli insiemi numerici?

$$ \mathbb{N} = \{ 0; 1; 2; 3; \dots \} $$

osservazione: l’inserimento dello zero nell’insieme $\mathbb{N}$ è ancor oggi una questione controversa, tanto che, a volte, si rende necessario distinguere i due diversi insiemi $\mathbb{N}$ in:

$\mathbb{N}$: insieme dei numeri naturali, compreso lo zero (regalatoci dagli indiani…)
$\mathbb{N^*}$: insieme dei numeri naturali, escluso lo zero

Nascono comunque dall’attività dell’uomo del contare, per questo vengono detti naturali.

proprietà dell’insieme $N$

L’insieme dei numeri naturali è infinito.
Ogni numero naturale ha un successivo.
Ogni numero naturale, eccetto lo zero, ha un precedente.
Lo zero è l’elemento minimo dell’insieme dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali non ha un elemento massimo

Per indicare che due numeri $a$ e $b$ sono uguali, useremo il simbolo $=$ e scriveremo: $$a=b$$ leggendo «$a$ è uguale a $b$»;

la precedente relazione è bidirezionale, cioè deve intendersi nelle due direzioni, sempre.

Il termine a sinistra dell’uguale viene chiamato primo membro, mentre quello a destra si indica con secondo membro.

ad esempio: $$17=17$$

La relazione di uguaglianza tra due numeri naturali gode delle seguenti proprietà:

riflessiva: ogni numero è uguale a se stesso: $a=a$;
simmetrica: se $a=b$ allora $b=a$;
transitiva: se $a=b$ e $b=c$ allora $a=c$.
I numeri naturali hanno un ordine, cioè, dati due numeri naturali, diversi tra loro, è sempre possibile confrontarli stabilendo tra essi una relazione di disuguaglianza:
- se nella successione dei numeri naturali un numero $a$ precede un numero $b$, si dice che $a$ è minore di $b$ e si scrive: $$a<b$$
- se invece $a$ segue $b$, si dice che $a$ è maggiore di $b$ e si scrive: $$a>b$$
per indicare le relazioni d’ordine vengono utilizzati anche i simboli di disuguaglianza:
- maggiore o uguale: si indica con il simbolo “$\geq$": $$a \geq b$$
  - minire o uguale: si indica con il simbolo “$\leq$": $$a \leq b$$
es.: proprietà transitiva della disuguaglianza:
- se $a \leq b$ e $b \leq c$, allora $a \leq c$
I numeri naturali possono essere facilmente rappresentati graficamente attraverso una semiretta orientata

Le quattro operazioni aritmetiche con i numeri naturali

2. addizione e sue proprietà

definizione: la somma di due numeri naturali è quel numero naturale che si ottiene contando di seguito al primo tutte le unità del secondo.

proprietà commutativa:
- cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: $$a+b=b+a$$
proprietà associativa:
- la somma di tre numeri non cambia se a due addendi consecutivi si sostituisce la loro somma: $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
Esiste l'elemento neutro dell’addizione:
- è il numero zero. Ciò significa che sommando zero a qualsiasi numero si ottiene il numero dato

3. sottrazione e sue proprietà

è un’operazione che si esegue tra due numeri, considerati nell’ordine, il primo detto minuendo e il secondo sottraendo. Il risultato della sottrazione si chiama differenza.

definizione: la differenza tra due numeri naturali è quel numero naturale, se esiste, che addizionato al sottraendo dà come somma il minuendo.

esempio: $5-2=3$ perché $5=3+2$

casi particolari:
La sottrazione $4-6$ non si può eseguire in $\mathbb{N}$ perché non esiste alcun numero naturale che, sommato a $6$, dia $4$.
La sottrazione, nell’insieme dei numeri naturali, si può eseguire solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo: $$a-b=c \rightarrow a= b+c$$ con $$a\geq c$$
La sottrazione gode della proprietà invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia: $$(a-b)=(a+c)-(b+c)$$
- Grazie alla proprietà invariantiva possiamo eseguire rapidamente alcune sottrazioni: $$(198-48)=(198+2)-(48+2)=200-50=150$$
La sottrazione non gode della proprietà commutativa: $7- 5 =2$, ma $5-7$ non è calcolabile in $\mathbb{N}$ e non ammette elemento neutro: $2- 0 =2$, ma $0-2$ non si può eseguire in $\mathbb{N}$.
La sottrazione non gode neppure della proprietà associativa.
- Ad esempio per calcolare $15-4-2$ è necessario eseguire le sottrazioni nell’ordine indicato: $$\underbrace{(15-4)}_{11}-2=9$$

4. moltiplicazione e sue proprietà

definizione: prodotto di due numeri naturali

è la somma di tanti addendi uguali al primo fattore quante sono le unità indicate dal secondo: $$a \cdot b= \underbrace{a+a+a+ \ldots + a}_{b \; \text{addendi}}$$

proprietà commutativa: il prodotto tra due o più fattori non cambia se cambia il loro ordine: $$a \cdot b = b \cdot a$$
proprietà associativa: il prodotto di tre numeri non cambia se a due fattori consecutivi si sostituisce il loro prodotto: $$(a \cdot b)\cdot c= a \cdot (b \cdot c)$$
proprietà distributiva:
- della moltiplicazione rispetto alla addizione: $$a \cdot (b+c)= a \cdot b + a \cdot c$$
- della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: $$a \cdot (b-c)= a \cdot b - a \cdot c$$
raccoglimento a fattor comune: si ottiene leggendo nell’altro verso la proprietà distributiva: se in una somma tutti gli addendi hanno un fattore in comune, esso può essere raccolto e moltiplicato per la somma degli altri termini; allo stesso modo per la differenza: $$\underbrace{3 \cdot 7 + 3 \cdot 5}_{21+15=36} = \underbrace{3 \cdot (7+5)}_{3 \cdot 12 = 36} \qquad \underbrace{8 \cdot 12-8 \cdot 9}_{96-72=24}=\underbrace{8 \cdot(12-9)}_{8 \cdot 3=24}$$
esistenza dell’elemento neutro: moltiplicando qualsiasi numero per uno si ottiene il numero dato
esistenza dell'elemento annullatore: moltiplicando qualsiasi numero per zero si ottiene zero
Legge di annullamento del prodotto: se il prodotto tra due o più fattori è zero allora almeno uno dei fattori è zero

5. divisione e sue proprietà

Il quoziente tra due numeri naturali, dei quali il secondo diverso da zero, è quel numero naturale, se esiste, che moltiplicato per il divisore dà il dividendo:

$a : b=c$, con $b \neq 0$, $\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{implica}} a=b \cdot c$

se la divisione si può eseguire in $\mathbb{N}$, allora si dice che $a$ è divisibile per $b$ o anche che $b$ è multiplo di $a$.

Ad esempio $24$ è divisibile per $6$ e $24$ è multiplo di $6$

La divisione $19:5$ non può essere eseguita in $\mathbb{N}$, poiché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per $5$, dia $19$.

ATTENZIONE:

Non è invece possibile eseguire la divisione di un numero naturale e lo zero, poiché il risultato dovrebbe essere un numero che, moltiplicato per zero dia il numero iniziale, ma qualsiasi numero moltiplicato per zero restituisce zero, che rappresenta infatti l’elemento annullatore della moltiplicazione.

La divisione $0:0$ invece ha infiniti risultati, poiché esistono infiniti numeri che moltiplicati perzero danno come risultato zero.

La divisione per zero quindi non è mai definita

casi particolari:

in generale	esempio	osservazioni
$a:1=a$	$6:1=6$	$1$ può essere considerato l'elemento neutro della divisione
$a:a=1$, con $a \neq 0$	$6:6=1$	se dividendo e divisore, entrambi $\in \mathbb{N}$ sono uguali, il risultato della divisione è l'unità
$0:a=0$, se $a \neq 0$	$0:6=0$	lo $0$ al dividendo può essere considerato l'elemento annullatore della divisione

Q: Qual è la differenza tra divisione e quoziente?

proprietà invariantiva della divisione

se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo sia il divisore per uno stesso numero - diverso da zero -, il quoziente non cambia:
- $a:b=(a \cdot c):(b \cdot c)$
- esempio: $$65:5=(65 \cdot 2):(5 \cdot 2)=130:10=13$$
- $a:b=(a : c):(b : c)$
- esempio: $$72:12=(72 : 2):(12 : 2)=36:6=6$$

proprietà distributiva della divisione

rispetto alla addizione:
- per dividere una somma per un numero si può dividere ciascun addendo per quel numero e quindi sommare i quozienti:
- $$(a+b):c=a:b+a:c$$
- $$\underbrace{(32+24)}_{56}:8=32:8+24:8=4+3=7$$
rispetto alla sottrazione:
- per dividere una differenza per un numero si possono dividere sia il minuendo sia il sottraendo per quel numero e quindi eseguire la sottrazione tra i quozienti:
- $$(a-b):c=a:b-a:c$$
- $$\underbrace{(32-24)}_{8}:8=32:8-24:8=4-3=1$$

La proprietà distributiva della divisione può essere applicata per eseguire più rapidamente alcune divisioni: $$612:6=(600+12):6=600:6+12:6=100+2=102$$

Non esistono proprietà distributive per dividere un numero per una somma o per una differenza. $$a:(b+c) \neq a:b+a:c$$

divisione approssimata - con resto

Se il dividendo non è multiplo del divisore, la divisione esatta non si può eseguire. Si può ricorrere allora alla divisione approssimata che associa al dividendo e al divisore due numeri naturali, detti rispettivamente quoziente e resto.
Il quoziente della divisione approssimata è il più grande numero naturale che, moltiplicato per il divisore, dà un prodotto minore o uguale al dividendo.
Il resto è la differenza tra il dividendo e tale prodotto.
Il resto risulta sempre minore del divisore

se $r=0$, allora l’uguaglianza $a=b \cdot q +r$ diviene: $$a=b \cdot q$$ che è la definizione di divisione che risulterà pertanto esatta

$$a:b=q \; \text{con resto }r \; \longleftrightarrow \quad a=b \cdot q +r \quad(r <b)$$

Proprietà invariantiva della divisione approssimata

se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo sia il divisore per uno stesso numero diverso da zero il quoziente non cambia, mentre il resto risulta moltiplicato o diviso per il numero dato:

$$a:b=q \; \text{con resto }r \; \longrightarrow \; (a \cdot c) : (b \cdot c)= q \; \text{con resto }(r \cdot c)$$

$$a:b=q \; \text{con resto }r \; \longrightarrow \; (a : c) : (b : c)= q \; \text{con resto }(r : c)$$

POTENZE in $\mathbb{N}$ e PROPRIETÀ delle POTENZE

6. definizione di potenza

DEFINIZIONE: La potenza di base $a$ ed esponente $n$ si indica con $a^n$ ed è uguale al prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \; \text{volte}}$$

Come accade spesso in matematica per le potenze si adottano delle convenzioni:

$a^1=a$
$a^0=1$, per $a \neq 0$
$0^0$ non ha significato

casi particolari:

$1^n=1$, per ogni $n$ ($\forall n$)
$0^n=0 \quad \forall n \neq 0$

7. proprietà delle potenze

approfondimento: La memoria umana in gigabytes

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
- $a^m : a^n = a^{m-n}$, con $(a \neq 0, \; m \geq n)$
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

ATTENZIONE:

$(a+b)^n \neq a^n + b^n$

$(3+4)^2=49$, mentre $3^2 + 4^2 = 25$

Rif.: MULTIMATH VERDE Vol.1 pag. 43

ESPRESSIONI CON I NUMERI NATURALI

Le espressioni numeriche sono una sequenza di operazioni, da eseguirsi rispettando il loro grado di priorità.

elevamenti a potenza

moltiplicazioni e divisioni

addizioni e sottrazioni

8. Priorità delle operazioni

ESEMPIO:

$$ 12 - 4 \cdot 2 + 9 : 3 = 12 - 8 + 3 = 4 + 3 = 7 $$

9. Le parentesi

Per indicare che le operazioni si devono eseguire in un ordine diverso da quello dato dal loro grado di priorità, si utilizzano le parentesi.

Le parentesi, in un’espressione, devono sempre comparire in coppie: a ogni parentesi aperta deve corrispondere una parentesi chiusa.
Si devono eseguire per prime le operazioni indicate nelle coppie di parentesi più interne, ossia in quelle coppie, formate da una parentesi aperta e una chiusa, all’interno delle quali non vi siano altre parentesi.
Tali coppiedi parentesi devono quindi essere sostituite con i risultati rispettivamente ottenuti.
Si prosegue in questo modo fino a quando non vi sono più parentesi.
Nel caso siano indicate di seguito diverse operazioni con lo stesso grado di priorità, esse vanno eseguite nell’ordine dato.

$$168 : 12 \cdot 3 : 2$$

consideriamo la stessa espressione numerica dell’esempio precedente e riscriviamola utilizzando le parentesi
osservazione: in questo caso risulta evidente che le parentesi sono ridondanti, ossia “di troppo”.

$$ \left[12 - (4 \cdot 2) + (9 : 3) \right] = 12 - 8 + 3 = 4 + 3 = 7 $$

10. altre proprietà delle operazioni

Per dividere un prodotto per un numero, si può dividere uno solo dei fattori per quel numero:
- $$(a \cdot b \cdot c): d = a \cdot (b:d) \cdot c$$
- $$(7 \cdot 15 \cdot 6):5 = 7 \cdot (15:5) \cdot 6 = 7 \cdot 3 \cdot 6 = 126$$
- In particolare, per dividere un prodotto per uno dei suoi fattori, è sufficiente sopprimere quel fattore:
- $$(a \cdot b \cdot c): b = a \cdot c$$
- $$ (7 \cdot 15 \cdot 6): 15 = 7 \cdot 6 = 42$$
Per dividere un numero per un prodotto, si può dividere successivamente quel numero per ciascun fattore:
- $$a:(b \cdot c) = (a : b):c$$
- $$48 : (2 \cdot 3) = (48 : 2) : 3 = 24 : 3 = 8$$
Per moltiplicare un numero per un quoziente, si può moltiplicare il numero per il dividendo e poi dividere il prodotto ottenuto per il divisore, oppure dividere il numero per il divisore e successivamente moltiplicare il risultato per il dividendo:

$$ a \cdot (b:c)= \begin{cases} (a \cdot b):c \\
(a : c) \cdot b \end{cases} $$

$$ 6 \cdot (12:3)= \begin{cases} (6 \cdot 12):3 \\
(6 : 3) \cdot 12 \end{cases} $$

ESERCIZI: Rif.: MULTIMATH VERDE Vol.1 pag. 43, n. 67

Divisibilità e “numeri primi”

11. multipli e divisori

12. criteri di divisibilità

Divisibilità per 2. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è pari.
Divisibilità per 3. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
Divisibilità per 4. Un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per 4 oppure se le sue ultime due cifre sono due zeri.
Divisibilità per 5. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.
Divisibilità per 9. Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Divisibilità per 10. Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.
Divisibilità per 11. Un numero è divisibile per 11 se lo è la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari (contandole per esempio da destra asinistra), eventualmente aumentata di un multiplo di 11, e la somma delle cifre di posto pari.
Divisibilità per 25. Un numero è divisibile per 25 se le sue ultime due cifre sono 00 o 25 o 50 o 75.

13. scomposizione in fattori primi

definizione: un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per $1$

Il numero $1$, per convenzione, non si considera un numero primo.

Ogni numero naturale, diverso da 0, che non sia primo si può esprimere, in un solo modo, come prodotto di fattori primi.

Scomporre in fattori primi un numero naturale significa determinare tali fattori.

Per scomporre un numero in fattori primi si cercano i suoi divisori utilizzando i criteri di divisibilità, partendo dal primo numero della successione dei numeri primi, cioè 2, e procedendo in ordine crescente.

Si esegue la divisione del numero dato per il più piccolo numero primo che risulta suo divisore.

Si divide il quoziente ottenuto per il suo divisore primo più piccolo e si continua, ripetendo il procedimento, finché il quoziente risulta uguale a 1.

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

14. massimo comun divisore MCD

DEFINIZIONE: MASSIMO COMUNE DIVISORE

Il massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali, diversi da zero, è il più grande dei loro divisori comuni.

Per determinare il MCD di due o più numeri naturali

si scompongono in fattori primi i numeri dati;
si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi comuni ai numeri dati, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente minore con cui figura.

NUMERI PRIMI TRA LORO

Due o più numeri naturali sono primi tra loro (o coprimi) se il loro massimo comune divisore è 1

15. minimo comune multiplo mcm

DEFINIZIONE: MINIMO COMUNE MULTIPLO

Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali, diversi dazero, è il più piccolo dei loro multipli comuni diversi da zero

Per determinare il mcm di due o più numeri naturali

si scompongono in fattori primi i numeri dati;
si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi, comuni e non comuni, dei numeri dati, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente maggiore con cui figura.

Sistemi di numerazione

16. il sistema decimale

17. cambiamenti di base

dalla base $b$ alla base $10$

dalla base $10$ alla base $b$

Il termine algoritmo deriva dal nome del matematico di cultura araba Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi, che visse a Baghdad nel IX secolod.C.; egli ci tramandò non solo un importante libro di calcolo numerico, ma anche un libro di algebra sulle equazioni di primo e secondo grado che fu basilare per lo sviluppo dell’algebra stessa. La parola algoritmo indica un procedimento di calcolo. Esso consiste in una successione finita di operazioni elementari da eseguire una dopo l’altra in un ordine ben preciso e deve avere le seguenti caratteristiche:

deve essere finito (cioè terminare dopo un numero finito di operazioni),

definito (ossia essere conciso e non ambiguo),

completo e deve raggiungere il risultato per il quale è stato progettato.

L’insieme dei numeri interi relativi $\mathbb{Z}$

18. I numeri interi relativi

valore assoluto e numeri opposti

DEFINIZIONI

VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO INTERO RELATIVO: Il valore assoluto o modulo di un numero intero relativo, positivo o negativo, è il numero stesso privato del suo segno
NUMERI OPPOSTI: Due numeri interi relativi con lo stesso valore assoluto e con segni diversi sono opposti